Projektarbeit "Tangente - Kreis - Tangentenviereck"
In diesem Schuljahr 2005/06 habe ich erstmalig ein größeres Projekt im
Mathematikunterricht zum Thema "Tangente - Kreis - Tangentenviereck"
mit der Klasse 8c in Angriff genommen. Bisher war ich immer zu Mathematik und
Projektarbeit skeptisch. Aber mit dieser Klasse ließ es sich gut verwirklichen.
Unabdingbare Voraussetzung zu Projektarbeit ist, dass die Schülerinnen und
Schüler der Klasse auch wirklich mitarbeiten wollen und an einem Erfolg
interessiert sind. Dies war bei der Klasse 8c der Fall. Sie haben gut
selbstständig gearbeitet, die Ergebnisse ansprechend formuliert und
vorgetragen.
Eine Motivation für mich war, dass ich mit dieser Projektbeschreibung bei der
Initiative "Hardware4Friends"
an einer Projektausschreibung teilgenommen habe und mit zwei Laptops gefördert
wurde. Die Preisübergabe erfolgte am 13. Dezember 2005 bei einem Festakt
anlässlich der Bayerischen Berufsbildungskongresses. Als ich den Schülern dies
gesagt hatte, waren sie begeistert und motiviert mit den Geräten zu arbeiten.
Ausgangssituation: Bisher hatte ich mit den Schülerinnen und
Schülern Vierecke und Sehnenvierecke behandelt. Nachdem man in der 7.
Jahrgangsstufe kennengelernt hat, dass jedes Dreieck einen Umkreis hat, war bei
den Sehnenvierecken die Frage offen: Haben auch alle Vierecke einen Umkreis?
Wenn nein, gibt es Vierecke mit Umkreis und welche Bedingungen müssen sie
erfüllen? Wir kamen dann zu Umfangswinkel und Umfangswinkelsatz,
Fasskreisbogen, weiteren interessanten Problemstellungen und natürlich zu den
Bedingungen für Sehnenvierecke. Nun wollten wir die gleiche Frage klären,
nachdem jedes Dreieck ja einen Inkreis hat, hat auch jedes Viereck einen Inkreis?
Falls nein, unter welchen Bedingungen hat ein Viereck einen Inkreis.
Die Schülerinnen und Schüler haben bereits früher im Internet und mit der
Mathematiksoftware "GeoGebra"
und am PC gearbeitet.
Als Ausgangspunkt wurde ein Arbeitsblatt an die Schüler ausgegeben:
| Wiederholung: |
Was weißt du von Dreiecken mit Inkreis? |
|
| Gruppe 1 | Gruppe 2 | Gruppe 3 |
| Diese Gruppe sollte die Begriffe, die in diesem Zusammenhang auftreten klären | Diese Gruppe sollte experimentell arbeiten und versuchen, möglichst viel von Tangentenvierecken herauszubekommen. | Diese Gruppe sollte vorwiegend theoretisch arbeiten und den Beweis für ihre Mitschüler vernünftig und verständlich aufbereiten. |
|
Lagebeziehung Gerade – Kreis: Du hast einen Kreis
und eine Gerade. Wie können Kreis und Gerade zueinander liegen? Gibt es
Schnittpunkte, wenn ja wie viele? Gibt es kennzeichnende Beziehungen?
(Abstand, Winkel, Längen, ...) |
Ausprobieren mit GeoGebra: |
Versuche im Schulbuch, Internet, Mathematiklexikon
... herauszubekommen: Wann ist ein Viereck ein Tangentenviereck? Was sind hinreichende, was notwendige Bedingungen? Beweise dies!
|
| Alle Gruppen mussten ihre Ergebnisse formulieren und geeignet vortragen. Alle Gruppen haben sich für einen Vortrag mit Powerpoint und Beispielen mit GeoGebra entschieden. | ||
Passante - Tangente - Sekante
Durch Variation der Punkte A oder B erhält man Situationen, dass die Gerade
am
Kreis vorbei geht (Passante),
den Kreis berührt (Tangente) oder
den Kreis in zwei Punkten schneidet (Sekante)
Konstruktion einer Tangente an einen Kreis
Bewegt man in vorstehenden Applet die Gerade g, so wird bei g als Sekante der jeweilige Winkel zum Mittelpunkt M angezeigt. Gehen die zwei Schnittpunkte S1 und S2 zusammen, so wird g Tangente und man sieht, dass der Winkel dann 90° wird. Dies lässt eine Tangentenkonstruktion mit dem Thaleskreis zu.
Durch Klicken auf "Abspielen" wird die Konstruktion dargestellt.
Man kann den Punkt A und den Mittelpunkt M des Kreises variieren. Für diese
Konstruktion sollte der Punkt A außerhalb des Kreises liegen! Weshalb?
Liegt A auf der Kreislinie, so ist die Konstruktion auch sehr einfach. Wie?
Zeichnet man mit GeoGebra ein Viereck mit Inkreis, so kann man mit durch Variieren der Punkte A oder C die Form des Vierecks verändern. Misst man Winkel, Strecken, .... so stellt man fest:
Ein Viereck ist ein Tangentenviereck, wenn die Summen gegenüberliegender Seiten gleich sind, also a+c = b+d.
Der Beweis ist einfach durch die Konstruktion über die Winkelhalbierenden des Inkreises und deren Eigenschaften.
In diesem Fall gilt auch die Umkehrung: Ein Viereck mit a + c = b + d ist ein Tangentenviereck ist.
Eine experimentelle Anleitung zum Ausprobieren findet man bei W.
Kallenbach.
Den Beweis des Kehrsatzes führt man als Widerspruchsbeweis:
Voraussetzung: Viereck mit a + c = b + d
Behauptung: Das Viereck hat einen Inkreis.
Beweis: Wenn es keinen Inkreis gibt, dann gibt es mindestens zwei Inkreise, die
jeweils drei Vierecksseiten berühren, aber die vierte Seite nicht. Dies ergibt
sich aus den Eigenschaften des Inkreises.
Man hat dann folgende Situation:
Durch Variation der Lage der Eckpunkte kann man schauen, wann
die beiden Inkreise zusammenfallen. Man sieht, dass das genau für a+c = b+d der
Fall ist!
Es ist dann: 
und
Wegen des Inkreises ist :
Ersetzt man in der oberen Gleichung die entsprechenden Strecken, dann ist
und sortiert man um, dann ist
, also 
Wegen der Voraussetzung a + c = b + d muss nun 
sein.
Da Strecken nicht negativ sind, ist jede Einzelstrecke 
,
also fallen die beiden Inkreise zusammen, es gibt also nur einen Inkreis und das
Viereck ist ein Tangentenviereck.
Bilder von den Gruppenarbeiten an PC und den neuen Laptops:
Bei der Arbeit:
Bei der Präsentation:
