Der Riemannsche Integralbegriff legt das Integral als Grenzwert von Rechteckflächen, die unter der Kurve liegen bzw. Grenzwert von Rechteckflächen, die über der Kurve liegen, fest. Am Beispiel der Quadratfunktion wird dies dargestellt.
Bevor ich es mit GeoGebra viel einfacher machen konnte, habe ich diesen Sachverhalt mit MuPAD dargestellt.
download des MuPAD Notebooks: riemann.mnb
Definition
der Funktion f, z.B. als Quadratfunktion
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f:=x^2
Zeichnen
des Graphen der Funktion f
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plotfunc2d(f,x=-4..4,YRange=0..8)
Wir nehmen
den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse und legen ihn mit
Rechtecken, die alle die gleiche Länge 1 haben und unterhalb des Graphen liegen
aus und berechnen dann die Summe der Rechtecksflächen. ------> Untersumme
Definition
der "Untersumme"
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su:= student::plotRiemann(f, x = 0..4, 4, Left)
Zeichnen
dieser Rechtecke und Berechnen der Untersumme.
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plot(su)
Das gleiche machen wir mit Rechtecken die "über" der
Kurve liegen. ---> Obersumme
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so:=student::plotRiemann(f, x = 0..4, 4, Right)
Zeichnen
dieser Rechtecke und Berechnen der Obersumme
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plot(so)
Zeichnen
von "Untersumme" und "Obersumme" in ein Diagramm
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plot (su,so)
Nun wird das Intervall [1;4]
nicht in 4 Teile unterteilt, sondern in 50 und die Rechtecke wieder als Unter-
bzw. Obersumme eingezeichnet.
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su:=student::plotRiemann(f, x = 0..4, 50, Left)
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plot(su)
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so:=student::plotRiemann(f, x = 0..4, 50, Right)
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plot(so)
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plot(su,so)
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su:=student::plotRiemann(f, x = 0..4, 100, Left)
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plot(su)
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so:=student::plotRiemann(f, x = 0..4, 100, Right)
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plot(so)
Man stellt so
gut wie keinen Unterschied mehr fest und macht so deutlich, dass die Fläche
unter der Kurve als Grenzwert für n ®
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Viel einfacher und ohne große Programmierung stellen sich Unter- und Obersumme mit GeoGebra dar. Mit dem Schieberegler n variiert man die Anzahl der Unterteilungen und die entsprechenden Unter- und Obersummen werden graphisch und als Wert dargestellt.
Geht man mit der Maus auf den Funktionsgraphen und klickt mit der rechten Maustaste an und wählt "Umdefinieren", so kann man den Funktionsterm ändern und eigene Funktionen betrachten.
Durch Ziehen mit der linken Maustaste an den Punkten A oder B lässt sich das Intervall für Unter- und Obersumme verändern.