Sehnenvierecke und der Umfangswinkelsatz
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Hat auch jedes Viereck einen Umkreis?
Klar ist, daß man bei einem vorgegebenen Kreis stets vier verschiedene Punkte auf dem Kreisumfang wählen kann, die dann eben ein Viereck mit einem Umkreis bilden.
Solche Vierecke heißen Sehnenvierecke.
Welche Eigenschaften haben sie?
Aufgabe 1:
- Zeichne einen Kreis k und ein Viereck ABCD, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Bestimme mit EUKLID die Größe der Winkel CBA und ADC. Bewege den Punkt A oder C auf dem Kreis.
- Findest du eine Vermutung über die Weiten der markierten Winkel?
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Die Summe zweier gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck ist 180o. |
Versuche, deine Vermutung zu beweisen. Verbinde dazu den Mittelpunkt mit den vier Eckpunkten des Vierecks.
Untersuche auch den Fall, daß der Mittelpunkt des Umkreises außerhalb des Vierecks liegt.
Aufgabe 2:
- Erstelle die Ausgangsfigur von Aufgabe 1.
- Laß dir von EUKLID die Größe der Winkel BAD und DCB angeben.
- Bewege die Punkte A und C auf dem Kreis.
| Die Winkelgrößen der Winkel BAD und DCB ändern sich nicht |
- Zeichne nun noch den Winkel BMD ein und laß dir seine Größe angeben.
- Formuliere deine Beobachtungen und versuche, sie zu begründen.
| Der Mittelpunktswinkel BMD ist
doppelt so groß wie der auf derselben Seite der Sehne liegende
Sehnenviereckswinkel.
Dieser Winkel des Sehnenvierecks, der auf derselben Seite von der Sehne [BD] liegt, heißt Umfangswinkel zur Sehne [BD]. |
Begründe diese Aussage!
Aufgabe 3
- Zeichne einen Kreis und ein Dreieck ABC, dessen Ecken auf dem Kreis liegen.
- Trage die Winkelhalbierende des Winkels ACB ein.
- Ziehe nun am Punkt C.
- Zeichne die Mittelsenkrechte der Seite AB ein und bewege wieder den Punkt C auf dem Kreis.
- Versuche, Deine Vermutung zu beweisen.
| Die Mittelsenkrechte einer Dreieckseite und die Winkelhalbierende des Gegenwinkels schneiden sich auf dem Umkreis des Dreiecks. |
Begründung (schwierig!)!
Aufgabe 4
- Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt M.
- Wähle auf k zwei Punkte S und R und konstruiere in diesen Punkten die Tangenten. Ihr Schnittpunkt sie T.
- Vergleiche die Weiten der Winkel RST und RMS.
- Ziehe an S oder R.
- Versuche wieder, deine Vermutungen zu beweisen
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Der Sehnentangentenwinkel ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel. Folgerung: Der Sehnentangentenwinkel ist genauso groß wie der Umfangswinkel. |
Begründung!
Damit ist die Konstruktion des Fasskreisbogenpaares möglich:
Konstruktion des Fasskreisbogenpaares zur Sehne der Länge 5 cm und dem Umfangswinkel 50o.
